1. 标准差

标准差（Standard Deviation）是统计学中最常用的离散程度测量指标，它衡量数据点分散于均值周围的程度。

定义与公式

标准差通常用符号 σ\sigmaσ (sigma) 表示，其数学公式为：

σ=1N∑i=1N(xi−μ)2\sigma = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i - \mu)^2}σ=N1​i=1∑N​(xi​−μ)2​

其中：

σ\sigmaσ 是标准差NNN 是数据点的总数xix_ixi​ 是第 iii 个数据点的值μ\muμ 是数据集的均值（算术平均数）∑\sum∑ 表示求和

计算步骤

计算数据集的均值 μ=1N∑i=1Nxi\mu = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_iμ=N1​∑i=1N​xi​计算每个数据点与均值的差值 (xi−μ)(x_i - \mu)(xi​−μ)计算这些差值的平方 (xi−μ)2(x_i - \mu)^2(xi​−μ)2计算这些平方值的平均值 1N∑i=1N(xi−μ)2\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i - \mu)^2N1​∑i=1N​(xi​−μ)2计算这个平均值的平方根得到标准差

样本标准差与总体标准差

在实际应用中，我们常区分两种标准差：

总体标准差（适用于拥有完整数据集）： σ=1N∑i=1N(xi−μ)2\sigma = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i - \mu)^2}σ=N1​i=1∑N​(xi​−μ)2​

样本标准差（从总体中抽取样本估计）： s=1n−1∑i=1n(xi−xˉ)2s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}s=n−11​i=1∑n​(xi​−xˉ)2​

这里使用 n−1n-1n−1 作为分母（贝塞尔校正），是为了得到总体标准差的无偏估计。

标准差的意义

变异性度量：较大的标准差表示数据分散程度大，较小的标准差表示数据集中于均值附近。

概率分布特性：在正态分布中：

约68%的数据落在均值±1个标准差范围内约95%的数据落在均值±2个标准差范围内约99.7%的数据落在均值±3个标准差范围内

数据质量指标：标准差可用于评估测量的精确度和数据的一致性。

异常值检测：通常，偏离均值超过3个标准差的数据点被视为潜在异常值。

标准差的应用示例

假设有学生成绩集合 [70, 75, 80, 85, 90]：

计算均值：μ=70+75+80+85+905=80\mu = \frac{70+75+80+85+90}{5} = 80μ=570+75+80+85+90​=80

计算每个数据点与均值的差值并平方：

(70−80)2=100(70-80)^2 = 100(70−80)2=100(75−80)2=25(75-80)^2 = 25(75−80)2=25(80−80)2=0(80-80)^2 = 0(80−80)2=0(85−80)2=25(85-80)^2 = 25(85−80)2=25(90−80)2=100(90-80)^2 = 100(90−80)2=100

计算这些平方值的平均值： 100+25+0+25+1005=2505=50\frac{100+25+0+25+100}{5} = \frac{250}{5} = 505100+25+0+25+100​=5250​=50

计算平方根得到标准差： σ=50=7.07\sigma = \sqrt{50} = 7.07σ=50​=7.07

这表示成绩的平均偏离程度约为7.07分。

标准差与其他离散度量的比较

方差：标准差的平方，单位是原始数据单位的平方平均绝对偏差：使用绝对值而非平方，计算简单但数学性质较差四分位距：对异常值更不敏感，但信息量较少变异系数：标准差除以均值，适用于不同单位数据的比较

标准差因其数学特性好且易于解释，成为最常用的离散程度测量工具。